Định nghĩa Tập X là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi x {\displaystyle x} trong X {\displaystyle X} và mọi lân cận U {\displaystyle U} của x {\displaystyle x} thì có một lân cận liên thông đường V {\displaystyle V} của x {\displaystyle x} sao cho V ⊂ U {\displaystyle V\subset U} .

1. R n {\displaystyle R^{n}} là liên thông đường địa phương.
2. Tất cả các Tập mở trong Không gian định chuẩn là liên thông đường địa phương.

• Định lý: Không gian topo X {\displaystyle X} là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi tập mở U {\displaystyle U} trong X {\displaystyle X} , mà mỗi thành phần liên thông đường trong U {\displaystyle U} là mở trong X {\displaystyle X} .
• Hệ quả Nếu X {\displaystyle X} là liên thông đường địa phương thì mỗi thành phân liên thông của X {\displaystyle X} là mở.
• Định lý: Mọi tập con mở của không gian liên thông đường địa phương thì liên thông đường địa phương.

Định nghĩa(Liên thông địa phương yếu) Không gian X {\displaystyle X} là liên thông đường địa phương yếu tại x {\displaystyle x} nếu với mọi lân cận U {\displaystyle U} của x {\displaystyle x} có một không gian con liên thông đường của X {\displaystyle X} chứa trong U {\displaystyle U} và chứa x {\displaystyle x} .

Quan hệ giữa liên thông địa phương và liên thông đường địa phương

• Mệnh đề: Liên thông đường địa phương thì liên thông địa phương, ngược lại không đúng.
• Mệnh đề: Liên thông và liên thông đường địa phương thì liên thông đường.